普通にやってればsudo apt install codeで更新できるみたいなんですが、僕の環境ではうまくできなかったので更新した際の備忘録として書いときます。
結論として、以下のコマンドで公式からダウンロードしてaptでインストールできます。
wget --trust-server-names=on "https://code.visualstudio.com/sha/download?build=stable&os=linux-deb-x64" && \
ls -d ./* | grep "code_" | xargs sudo apt install
ダウンロード先のURLは、debianに対応したバージョンのVSCodeになっています。 （もしも違うOSを使用している場合はこのURLの部分を変えてください。）
wgetの--trust-server-namesオプションを使用してあげると、リダイレクト先のファイル名を使用してダウンロードしてくれます。
ダウンロードしたファイル名はcode_から始まっているため、その名前でgrepしてapt installに渡してあげています。
これでインストールできます。
参考
VSCodeの公式ページ LinuxにVisual Studio Codeをインストールする SourceForgeからwgetする時正しいファイル名で保存する